خطر الإفلاس
احتمال إنك تخسر رأس مال اللعب كله قبل ما توصل للهدف.
في رهانات الدفع المتساوي، خطر الإفلاس ماشي على صيغة إفلاس المقامر. برأس مال $500، ورهانات $10، وهدف $600، هتوصل للهدف حوالي 57% من المرات وهتفلّس في الباقي.
السؤال
معاك a وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي النظام أو اللاعب شغال بيه. التدرّجات بتتوصف بالوحدات عشان تنفع على أي طاولة.اقرا الكلام كله ← من رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ كله اللي مخصّصه للعب. وإدارة رأس المال هي إنك تحدد الجزء اللي هتخاطر بيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا الكلام كله ← وعايز توصل لـa + b وحدة، وإنت بتراهن بوحدة واحدة كل مرة على رهان دفع متساويرهانرهان الدفع المتساويأحمر/أسود، فردي/زوجي، عالي/منخفض. 18 رقم، وبيدفع 1:1.اقرا الكلام كله ← باحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة تحصل، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكلام كله ← مكسب p = 18/37 واحتمال خسارة q = 19/37. إيه احتمال إنك توصل للهدف قبل ما توصل للصفر؟ الإجابة طلّعها باسكال وفيرما وهويغنز في خمسينيات القرن الـ17، ودي من أقدم النتايج في الاحتمالات.
صيغة إفلاس المقامر
P(الوصول للهدف) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). وخطر الإفلاسرياضياتخطر الإفلاساحتمال إنك تخسر رأس مال اللعب كله قبل ما توصل لهدف أو لعدد معيّن من الدورات.اقرا الكلام كله ← هو واحد ناقص ده. ومع q/p = 19/18 ≈ 1.0556 النسبة بتكبر أُسّيًا مع عدد الوحدات، فالصيغة بتعاقب الوحدات الصغيرة جامد: كل ما الهدف محتاج رهانات أكتر، كل ما الـ2.70% بتتدفع مرات أكتر في السكة.
قراءة النتائج
الوحدات الأصغر بتضر. إنك تحاول تضاعف $500 برهانات $10 بتنجح 6% من المرات؛ وبرهان واحد بـ$500 بتنجح 48.6% من المرات. اللعب الجريء، يعني رهانات أقل وأكبر، بيخلّي احتمال إنك توصل للهدف أعلى ما يمكن في لعبة قيمتها المتوقعة سالبة، عشان بيقلّل لأقل حد عدد المرات اللي الميزة بتتطبّق فيها. بس كمان بيخلّي تباينرياضياتالتباينمقياس بيقول النتايج متفرّقة قد إيه حوالين القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وواطي في رهانات الدفع المتساوي.اقرا الكلام كله ← اللي هيحصلك أعلى ما يمكن، وبيخلّص السهرة بسرعة. والمبرهنة اسمها «اللعب الجريء هو الأمثل» ودوبينز وسافيدج برهنوها سنة 1965.
المسألة بدأت منين
السؤال أقدم من الروليت. في 1656 باسكال طرح على فيرما لغز: لاعبين بيرموا تلات زهر، وكل واحد بيبدأ بـ12 قطعة عدّ؛ رمية مجموعها 11 بتنقل قطعة في اتجاه، ورمية مجموعها 14 في الاتجاه التاني. الاتنين حلّوه، وهويغنز، اللي سمع بيه من جواب من عالم الرياضيات بيير دو كاركافي (Pierre de Carcavi)، نشره سنة 1657 كالمسألة الخامسة في أول كتاب عن الاحتمالات، بالإجابة ومن غير برهان. الحداشر ممكن يطلع بـ27 طريقة والأربعتاشر بـ15 بس، فكل قطعة بتتحرك ناحية اللاعب الأول 9 مرات من 14، والصيغة اللي فوق، مع 12 قطعة لكل واحد، بتخلّي احتمال إنه يكسب كل حاجة حوالي 1,157 ضعف احتمال إنه يخسر كل حاجة. وميزة 2.70% أصغر بكتير، بس نفس الصيغة بتوريك بتعمل إيه على رهانات كتير.
رهان جريء حقيقي
في أبريل 2004 آشلي ريفيل (Ashley Revell)، شاب إنجليزي، باع تقريبًا كل حاجة يملكها، حتى هدومه، وخد $135,300 لكازينو Plaza في لاس فيغاس. وبعد كام رهان صغير حط المبلغ كله على الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنساوي: rouge.اقرا الكلام كله ←، مرة واحدة. الكورةالمعداتالكورةالكورة الصغيرة اللي بتتطلق في المسار عكس اتجاه الدوّار. الكور الحديثة من الإيفورين أو التفلون، وقطرها 18–21 مم.اقرا الكلام كله ← وقعت على 7 الأحمر وخرج ومعاه $270,600. على عجلة بـصفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما بيغطيهاش أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر أفضلية الكازينو. وبيتقال لها كمان: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كله ← مزدوج الدورة الواحدة دي كان احتمالها 47.37% وكلّفته في المتوسط $7,121، يعني ميزة الـ5.26% على رهان واحد. ولو نفس الهدف اتوزّع على رهانات $10 كان هيبقى تقريبًا ميئوس منه. اللعب الجريء ما بيخلّيش الرهان كويس؛ بيخلّيه أقصر ما يمكن.
خطر الإفلاس من غير هدف
لو إنت ببساطة بتلعب لحد ما تفلّس أو بتقف بعد N دورة، السؤال بيبقى «إيه احتمال إن رأس مالي يوصل للصفر في خلال N دورة؟». مفيش صيغة مقفولة لأي N، بس المحاكيات في الموقع ده بتحسبه: رأس مال $500 برهانات $10 على الأحمر تقريبًا عمره ما بيفلّس في 100 دورة (أقل من 1%)، وبيفلّس حوالي 9% من المرات في 500 دورة، وحوالي 95% من المرات في 5,000. ومن غير قاعدة للوقوف الاحتمال بيروح لـ100%، ودي صورة أفضلية الكازينورياضياتأفضلية الكازينوالنسبة من كل مبلغ رهان اللي الكازينو بيحتفظ بيها في المتوسط: 2.70% في الروليت الأوروبي.اقرا الكلام كله ← على المدى الطويل.
- p10 −$500
- p25 −$500
- الوسيط −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
رأس المال بيصمد قد إيه، وبيتقدّم لحد فين
فيه نتيجتين كلاسيكيتين كمان بيجاوبوا على أسئلة اللاعبين بيسألوها فعلًا. من غير هدف، رهانات الدفع المتساوي الثابتة بتعيش في المتوسط 37 دورة لكل وحدة من رأس مال اللعب على العجلة الأوروبي و19 على الأمريكاني، عشان كل دورة بتاخد 1/37 من الوحدة في المتوسط (1/19 على العجلة الأمريكاني): 100 وحدة بتعيش 3,700 دورة في المتوسط، مع إن نص الجلسات دي بتخلص في خلال 3,134 (شوف مدة الجلسة وكلفتها). ومهما رأس المال كبر، احتمال إنك في يوم تبقى كسبان k وحدة على العجلة الأوروبي هو (18/19)ᵏ. يعني 95% لوحدة و58% لعشرة، بس مفيش رأس مال، مهما كان كبير، يدّيك فرصة النص إنك في يوم تبقى كسبان 13 وحدة؛ وعلى العجلة الأمريكاني الاحتمال (9/10)ᵏ وبينزل تحت النص عند 7 وحدات.
رأس المال اللازم لاحتمال النصف
اقلب السؤال: لازم تجيب معاك قد إيه عشان يبقى عندك فرصة النص على الأقل إنك تكسب مبلغ معيّن قبل ما تخسر كل حاجة؟ لمكسب صغير، مش كتير. إنما لمكسب أكبر رأس المال اللازم بيطلع بسرعة، وبعد حد معيّن مفيش رأس مال يكفي، عشان حتى رأس المال اللي ما بيخلصش بيدّي فرصة أقل من النص إنك في يوم تبقى كسبان بالقدر ده. وتايلور (2021) بيقولها بطريقة تانية: على العجلة الأمريكاني، عشان يبقى عندك فرصة النص توصل لـ100 وحدة لازم تبدأ بـ94، يعني بتخاطر بـ94 عشان تكسب 6. وعلى العجلة الأوروبي هتحتاج 88.
الدرس العملي
حدّد إنت بتحاول تعمل إيه. لو الهدف مكسب معيّن، راهن كبير وقليل. لو الهدف سهرة طويلة، راهن صغير واقبل إن الميزة هتاخد الـ2.70% بتاعتها من إجمالي مراهناتالمالإجمالي المراهناتإجمالي المبلغ اللي اتراهن بيه في جلسة أو فترة، ومعاه المكاسب اللي اتراهن بيها تاني. وبيتقال له كمان: handle، action.اقرا الكلام كله ← كبير. ولو الهدف الاتنين، لازم حاجة تتنازل عنها، وغالبًا بتبقى الهدف.
الصيغة
أسئلة
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج بيضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية عشان تعرف بيعمل إيه وما بيعملش إيه.اقرا الكلام كله ← بيقلّله في الجلسات القصيرة وبيعلّيه جامد في الطويلة. والرهان الثابتاستراتيجيةالرهان الثابتإنك تراهن بنفس المبلغ كل دورة. ده الخط الأساسي اللي أي تدرّج بيتقارن بيه.اقرا الكلام كله ← بوحدة أكبر هو الطريقة الأمينة إنك تقلّله.
الصيغة اللي فوق للدفع المتساوي. في الرهانات اللي تباينها عالي الإفلاس أرجح بمبالغ الرهان الصغيرة، والهدف بيتوصل له بشكل متقطّع أكتر؛ استخدم الحاسبة.
كل خطوة ناحية الهدف احتمالها أقل شوية من كل خطوة ناحية الإفلاس؛ والنسبة بتتراكم على عدد الخطوات.
متعة الرياضيات
جرّب تحلّها بنفسك الأول. كل حل متطبّق؛ افتحه لما تكون جاهز.
معاك $100 وعايز توصل $1,000، بالرهان على الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنساوي: rouge.اقرا الكلام كله ← بس. الخطة الأولى: تراهن بـ$1 كل مرة. الخطة التانية: تراهن بكل اللي معاك لحد ما تعدّي $500، وبعدين باللي يكفي بس توصل $1,000. أنهي خطة أحسن، وبفرق قد إيه؟
وريني الحل
الإجابة الخطة التانية، وبفرق كبير. بتوصل $1,000 في حوالي 9.0% من المرات، قريب من نسبة الـ10% العادلة. أما الخطة الأولى فبتنجح حوالي 7 مرات من 10²².
في لعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة مفيش فيها طرف عنده أفضلية: القيمة المتوقعة لكل رهان صفر.اقرا الكلام كله ← هتوصل $1,000 من $100 مرة من كل عشرة أيًّا كان اللي هتعمله، عشان متوسط قيمة فلوسك بيفضل $100.
أفضلية الكازينو بتاخد 2.70% من كل رهان، فكل ما تراهن بإجمالي أقل بتفضل أقرب لمرة من كل عشرة. والخطة التانية بتحسم الموضوع في كام رهان: $100 بتبقى $200 وبعدين $400 وبعدين $800، وبعدها رهان $200 يكفي. فبتنجح في حوالي 9.0% من المرات. أما الخطة الأولى فبتاخد آلاف الرهانات قبل ما المشوار يخلص، والميزة، الصغيرة في كل رهان، بتتراكم لحد ما الإفلاس يبقى شبه أكيد.
دي نتيجة دوبنز وسافيج في أبسط شكل (إبستين، 2013): في لعبة مايلة لصالح الكازينو، راهن بقد ما انت محتاج، بأقل عدد مرات ممكن.
معاك $500 وعايز توصل $1,000، وهتقف أول ما توصلها. بتختار نوع واحد من الرهانات وبتكرره لحد ما يكسب مرة واحدة أو الفلوس تخلص. أنهي نوع بيدّي أحسن احتمال؟
وريني الحل
الإجابة رهان واحد بـ$500 على الأحمر: 48.6%. وأي خطة بتوزّع الفلوس على رهانات أصغر بتبقى أسوأ.
اختار كل مبلغ رهان بحيث مكسب واحد يكفي: $30 على رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، وبيدفع 35:1.اقرا الكلام كله ← بتكسب $1,050، و$60 على رهان الرقمينرهانرهان الرقمينرقمين جنب بعض، وبيدفع 17:1.اقرا الكلام كله ← بتكسب $1,020، وهكذا. وبعدين احسب احتمال إن رهان واحد على الأقل يكسب قبل ما الفلوس تخلص. ستاشر رهان على الرقم الواحد بـ$30 بيخيبوا كلهم باحتمال (36/37)¹⁶ = 64.5%، فبتوصل $1,000 في 35.5% من المرات.
الجدول بيوضّح كل رهان. الأحمر هو الأحسن عشان بيوصل في رهان واحد، فالميزة بتتدفع مرة واحدة، على $500. وبعده رهان الصفينرهانرهان الصفينست أرقام في صفين جنب بعض، وبيدفع 5:1. بالفرنساوي: sixain.اقرا الكلام كله ← عشان محتاج تلات رهانات بس. ورهان الدزينةرهانالدزينة1–12 أو 13–24 أو 25–36، وبيدفع 2:1.اقرا الكلام كله ← الواحد هو الأسوأ، فرصته 12/37؛ وحتى لو اتلعب بـوحداتالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي النظام أو اللاعب شغال بيه. التدرّجات بتتوصف بالوحدات عشان تنفع على أي طاولة.اقرا الكلام كله ← قيمتها $250 لحد ما توصل $1,000 أو أكتر، الدزينة ما بتوصلش غير في 46.4% من المرات.
وبولمان (2024) بيعمل نفس الجدول للعجلة الأمريكاني. وفي صف الدزينة عنده غلطة: المفروض يبقى 12/38 = 31.6%.
رهانمبلغ الرهان × عدد الرهاناتاحتمال توصل $1,000رهان الرقم الواحد$30 × 1635.5%رهان الرقمين$60 × 835.9%رهان الصف$90 × 534.5%رهان الزاوية$125 × 436.7%رهان الصفين$166, $166, $16841.2%الدزينة$500 × 132.4%أحمر$500 × 148.6%بتراهن بوحدة واحدة على الأحمر، دورة ورا دورة، مع رأس مالالمالرأس مال اللعبالمبلغ كله اللي مخصّصه للعب. وإدارة رأس المال هي إنك تحدد الجزء اللي هتخاطر بيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا الكلام كله ← عمره ما بيخلص. بعد أول دورة بتبقى كسبان وحدة أو خسران وحدة. إيه احتمال إنك ترجع في يوم للتعادل بالظبط؟
وريني الحل
الإجابة 36 من 37، يعني 97.3%. وعلى العجلة الأمريكاني 36 من 38، يعني 94.7%.
لو كسبت أول دورة (18 مرة من 37) فانت كسبان وحدة، والميزة بتسحب أي جلسة مالهاش آخر لتحت، فهتعدّي على نقطة التعادل تاني عاجلًا أو آجلًا: ده أكيد. ولو خسرت (19 مرة من 37)، فلازم تطلع وحدة واحدة، واحتمال إنك تبقى كسبان وحدة في يوم هو 18/19 (شوف الجدول اللي فوق).
مع بعض: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
وعمومًا الاحتمال بيساوي 1 ناقص الفرق بين احتمال إنك تكسب الدورة واحتمال إنك تخسرها: 1 − 1/37 على العجلة الأوروبية، و1 − 2/38 على الأمريكاني. وفي لعبة من غير صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما بيغطيهاش أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر أفضلية الكازينو. وبيتقال لها كمان: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كله ← الفرق بيبقى صفر والاحتمال 1: الحصيلة دايمًا بترجع للتعادل. وإبستين (2013) بيدّي القاعدة العامة.
لغز باسكال سنة 1656: لاعبين بيرموا تلات زهرات نرد، وكل واحد بيبدأ بـ12 قطعة عدّ. كل 11 بتنقل قطعة للاعب الأول، وكل 14 بتنقل قطعة للتاني؛ والرميات التانية ما بتتحسبش. إيه احتمال إن اللاعب الأول ياخد الـ24 قطعة كلهم؟ ولو بدل كده حطيت 1 وحدة على الأحمر كل دورة قصاد صاحب بيلعب دور البنك، وكل واحد فيكم معاه 12 وحدة، إيه احتمال إنك تاخد الـ24 وحدة كلهم؟
وريني الحل
الإجابة اللاعب الأول بيكسب حوالي 1,157 مرة من 1,158. أما انت، على الأحمر، فبتاخد الـ24 وحدة كلهم في حوالي 34% من الحالات بس.
تلات زهرات نرد بيدّوا 11 بـ27 طريقة و14 بـ15 طريقة، فكل قطعة بتتحرك بتروح للاعب الأول 27 مرة من 42، يعني 9 مرات من 14. ولما كل طرف يبدأ بـ12، احتمال إنه ياخد كل حاجة 1/(1 + r¹²)، وr هي نسبة احتمال الطرف التاني لاحتمالك.
للاعب الأول r = 5/9، و(5/9)¹² ≈ 0.00086، فالاحتمال حوالي 0.99914: يعني نسبة 9¹² لـ5¹²، أو 282,429,536,481 لـ244,140,625، حوالي 1,157 مقابل 1. وهويغنز نشر الأعداد دي بالظبط سنة 1657.
على الأحمر r = 19/18 بسبب الصفر، و(19/18)¹² ≈ 1.913: فاحتمالك 1/2.913 ≈ 34.3%. والعملة كانت هتدّي 50%. وميزة الـ2.70% في كل رهان بتتراكم، على مدى الرهانات الكتير اللي محتاجها، لحد ما تبقى فجوة 16 نقطة.
استراحة ضحك
اللعب الجريء هو الأمثل. وبرضه بيخلص بسرعة.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”