اختبار مربع كاي
الاختبار المعياري للسؤال: «هل الـ37 عدد دول هما اللي كانت عجلة نزيهة هتطلّعهم؟»
χ² = Σ (المرصود − المتوقع)² / المتوقع على كل الـ37 خانة. النتيجة بتتقارن بتوزيع مربع كاي عند 36 درجة حرية عشان تطلع قيمة p.
إزاي تحسب
العدد المتوقع لكل خانةالمعداتالخانةواحدة من الـ37 خانة المترقّمة على الدوّار. وبيتقال لها كمان: الفتحة، الكأس.اقرا الكلام كله ← هو n/37. لكل خانة، الفرق بين المرصود والمتوقع بيتربّع ويتقسم على المتوقع، وبعدين الـ37 حد بيتجمعوا. العجلة النزيهة بتدّي قيم حوالين 36 في المتوسط (عدد درجات الحريةالمختبردرجات الحريةعدد القيم المستقلة في إحصاء معيّن. في اختبار مربع كاي على 37 خانة بيساوي 36، عشان مجموع الأعداد لازم يساوي الإجمالي.اقرا الكلام كله ←)، مع انحراف معياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ يعني المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.اقرا الكلام كله ← حوالي 8.5. اللي فوق 51.0 دالّ إحصائيًا عند مستوى 5%؛ واللي فوق 58.6 دالّ عند 1%. محلّل انحياز العجلة بيحسب الإحصاء وقيمة pالمختبرقيمة pاحتمال إنك تشوف انحراف قد اللي اتلاحظ أو أكبر لو العجلة عادلة.اقرا الكلام كله ← بالظبط من دالة جاما غير التامة المنتظَمة.
مثال محلول
1,000 دورة. ست وتلاتين خانة بين 20 و34 مرة ظهور؛ أما الخانة 8 فطلعت 41 مرة. المتوقع 27.03. حد الخانة 8 لوحده يساوي (41 − 27.03)²/27.03 = 7.2. نفترض إن مجموع الـ36 حد التانيين 38 (وده عادي). χ² = 45.2 عند 36 درجة حرية، وp ≈ 0.14. النتيجة مش دالّة: العجلة النزيهة بتعمل كده مرة من كل سبعة. الخانة 8 مرشّحة مش اكتشاف، والإجابة ألف دورة كمان.
الافتراضات
دورات مستقلةرياضياتالدورات المستقلةكل دورة ليها نفس الاحتمالات مهما كان اللي قبلها. وده أساس كل حساب في الموقع ده.اقرا الكلام كله ←، وأعداد متوقعة مش أقل من 5 لكل خانة، يعني n ≥ 185 عشان الاختبار يبقى صالح أصلًا، وأكتر من كده بكتير عشان يبقى مفيد. إنك تخلط دورات من عجلات مختلفة بيخالف الافتراض الأول في روحه (لأنك بتختبر خليط، مش عجلة). أما تأثير بصمة الديلر فبيخالفه فعلًا، وبيكبّر χ² من غير ما أي خانة تكون مفضّلة فيزيائيًا.
بيرسون ومونت كارلو
كارل بيرسون نشر الاختبار سنة 1900، وكان من أول أمثلته المحلولة 26,306 دورة روليت متسجّلة في مونت كارلو، ولقاها بعيدة عن الانتظام لدرجة إنها مستحيل تكون صدفة، فأعلن إن «روليت مونت كارلو… مش لعبة حظ». وكتّاب بعده وصلوا إن الصحفيين اللي سجّلوا الدورات لجرنال ألّفوا كتير منها، وده في حد ذاته درس عن مصدر البيانات.
بيرسون بينشر اختبار مربع كاي لجودة المطابقة، وبيضرب دورات مونت كارلو مثال.
التشكيك في بيانات الدورات؛ شكل المسجّلين ألّفوا سلاسل منها.
فيشر بيحط تعريف رسمي لدرجات الحرية؛ وعُرف عتبة 5% بيترسّخ.
الإحصائيين بيستخدموا دورات الروليت كبيانات نموذجية في الكتب الدراسية لاختبارات الانتظام.
عيلة غارسيا بيلايو بتطبّق الطريقة على بيانات متسجّلة حقيقية وبتكسب في مدريد.
الكازينوهات بتعمل نفس الاختبار على عجلاتها كجزء من الصيانة الروتينية.
اختبار حقيقي: العجلات الأوتوماتيك في لاس فيجاس
اللعيبة كتير بيشكّوا إن العجلة الأوتوماتيك بتوجّه الكورةالمعداتالكورةالكورة الصغيرة اللي بتتطلق في المسار عكس اتجاه الدوّار. الكور الحديثة من الإيفورين أو التفلون، وقطرها 18–21 مم.اقرا الكلام كله ← بعيد عن الرهانات الكبيرة. وتحليل سنة 2017 اختبر الشك ده على عجلات Interblock بـصفرينالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما بيغطيهاش أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر أفضلية الكازينو. وبيتقال لها كمان: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كله ← من غير ديلر في لاس فيجاس، وراهن على قوس من خمس أرقام جنب بعض، وده نوع الرهان اللي بيحطه راصد العجلة. في 299 دورة، القوس كسب 29 مرة قصاد 39.3 متوقعة، وده نقص بتطلّعه عجلة عادلة حوالي 4% من الوقت. وكانت قيمة مربع كاي على الـ38 خانة كلها 45.29 مع 37 درجة حرية: p = 16.5%. وعينة تانية من 1,204 دورة على تلات عجلات ادّت χ² = 34.79 وp = 57%، وما كانش فيه أي قوس من اللي اتجرّبوا، مهما كان حجمه، ليه دلالة. والعينتين مع بعض، 1,503 دورة، ادّوا χ² = 41.75 وp = 27%. والحكم كان إن مفيش دليل على التوجيه. العينة الأولى لوحدها كان شكلها يثير الشك؛ أما التانية فهي اللي حسمت الموضوع.
بعد مربع كاي
لخانة واحدة مشكوك فيها، الاختبار ذو الحدين أقوى. ولقوس مشكوك فيه، فيه اختبار z على القطاعالعجلةالقطاعقوس متصل من الخانات على العجلة، غير المجموعة اللي على لوحة الرهان.اقرا الكلام كله ← في صفحة تحليل القطاعات. مربع كاي هو الاختبار الشامل: بيقولك إن فيه حاجة مش مظبوطة من غير ما يقول هي إيه. استخدمه الأول، وبعدين دوّر.
الصيغة
أسئلة
لازم الـ37 عدد يكون مجموعهم n، عشان كده 36 بس منهم هما اللي بيتغيّروا بحرية.
عجلة فيها خانة بتطلع بمعدل 1/25 هتدّي في 10,000 دورة حد للخانة دي لوحدها حوالي 60؛ وχ² حوالي 100، وp عمليًا بصفر.
تقنيًا آه، بعدد متوقع 5.4 لكل خانة. بس مش هيكشف حاجة إلا لو العجلة فيها خانة مسدودة بالغرا.
استراحة ضحك
اجمع مربعات المفاجآت، وقارن اللي يطلع بالقيمة 51.0.
المصادر
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”