احتمال السلاسل في الروليت
السلاسل الطويلة من لون واحد بتحصل كتير. وبرضه ملهاش أي معنى للدورة اللي جاية.
أحمر خمس مرات ورا بعض: 2.7%. عشرة: 0.074%. وفي جلسة 200 دورة، سلسلة من ست مرات للون واحد بتظهر في أغلب الأحوال.
سلسلة الخسارة بتيجي كل قد إيه
رهان الدفع المتساوي على عجلة بصفر واحد بيخسر 19 دورة من 37. كل صف بيوري احتمال إن عدد معين من الدورات ورا بعض يخسر كله، وقد إيه لاعب مارتينغال، اللي بيضاعف بعد كل خسارة، يكون خسر لحد ساعتها.
| خسارات ورا بعض | الاحتمال | حوالي 1 من كل | الخسارة لحد دلوقتي | الرهان اللي بعده |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
الاحتمال هو 19/37 مضروب في نفسه مرة لكل خسارة، محسوب من دورة واحدة بعينها. والجلسة الطويلة فيها دورات كتير ممكن سلسلة زي دي تبدأ منها، فعلى مدار سهرة احتمالها أكبر بكتير من اللي صف واحد بيوحي بيه.
سلسلة واحدة
احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة تحصل، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكلام كله ← إن الـk دورة اللي جايين يطلعوا كلهم أحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنساوي: rouge.اقرا الكلام كله ← هو (18/37)ᵏ. اتنين: 23.7%. خمسة: 2.7%. عشرة: 0.074%، يعني حوالي 1 من 1,350. عشرين: 1 من 1.8 مليون. ستة وعشرين، الرقم القياسي في مونت كارلو: 1 من 137 مليون. دي احتمالات سلسلة معيّنة بتبدأ عند دورة معيّنة، وده سؤال تقريبًا محدش بيسأله في الحقيقة.
في جلسة
السؤال اللي الناس قصداه هو «هل هتظهر سلسلة من k في أي حتة في جلستي؟»، والإجابة أكبر بكتير من (18/37)ᵏ عشان جلسة 200 دورة فيها تقريبًا 200 مكان ممكن السلسلة تبدأ منه. سلسلة من ست مرات أو أكتر لنفس اللون، أحمر أو أسودرهانالأسودرهان بدفع متساوي على الـ18 رقم الأسود. بالفرنساوي: noir.اقرا الكلام كله ←، بتظهر في جلسة 200 دورة حوالي 94% من المرات؛ وتمن مرات أو أكتر حوالي 47%؛ وعشر مرات أو أكتر حوالي 14%. ولو حدّدت اللون من الأول الاحتمالات بتنزل لحوالي 75% و27% و7%. واللاعب اللي قاعد سهرة كاملة هيشوف سلاسل طويلة كل سهرة.
ليه ده يهم مارتينغال
كل تدرّجاستراتيجيةالتدرّجأي قاعدة بتغيّر مبلغ الرهان حسب النتايج اللي فاتت. التدرّجات السلبية بتعلّيه بعد الخسارة، والإيجابية بعد المكسب.اقرا الكلام كله ← سلبي ليه طول سلسلة بيكسره: ست خساير من رهان أساسي $10 عند حدّ $500، وعشرة في فيبوناتشياستراتيجيةفيبوناتشيتدرّج ماشي على المتتالية 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13…: خطوة لقدام بعد الخسارة، وخطوتين لورا بعد المكسب.اقرا الكلام كله ←، وخمسة لو بتضرب الرهان في تلاتة على الدزيناترهانالدزينة1–12 أو 13–24 أو 25–36، وبيدفع 2:1.اقرا الكلام كله ←. واحتمال سلسلة ست خساير على الدفع المتساوي هو (19/37)⁶ ≈ 1.8% في كل محاولة، وجلسة 200 دورة فيها يمكن 100 محاولة، فالكسرة بتيجي في حوالي أربع جلسات من كل خمسة بالطول ده. احتمال السلاسل في الروليت هو السبب إن الهاوية مش نادرة.
الأرقام الساخنة والباردة
نفس الحساب ينفع على رهانات الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، وبيدفع 35:1.اقرا الكلام كله ←. في 300 دورة العدد المتوقع لكل رقم 8.1؛ والانحراف المعياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ يعني المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.اقرا الكلام كله ← حوالي 2.8. فيه رقم هيطلع 15 مرة ورقم تاني مرتين (2) بالصدفة بس، كل مرة. ولوحة النتايج اللي بتعلّم على الأرقام «السخنة» بتعلّم على قمة توزيع طبيعي مش أكتر. والمختبر بيشرح محتاج كام دورة قبل ما الرقم الساخنخرافةالرقم السخنرقم طلع الفترة اللي فاتت أكتر من المتوقع. وعلى عجلة سليمة ما بيتنبأش بأي حاجة.اقرا الكلام كله ← يبقى ليه أي معنى (آلاف، من عجلة واحدة معروفة).
الاستقلال هو جوهر المسألة
سلسلة عشر مرات أحمر ما بتخلّيش الأسود أرجح، ولا بتخلّي الأحمر أرجح كمان. الاتنين 18/37. السلاسل صفة من صفات المتتاليات العشوائية، وغيابها هو اللي يقلق: متتالية 200 دورة مفيهاش سلسلة أطول من أربعة هتبقى دليل على التلاعب أقوى بكتير من متتالية فيها سلسلة اتناشر.
الصيغة
أسئلة
أشهرها 26 مرة أسود في مونت كارلو يوم 18 أغسطس 1913. واتقال إن 32 مرة أحمر ورا بعض حصلت في كازينو أمريكاني سنة 1943. والاتنين ماشيين مع الصدفة لو حسبت الكازينوهات بتلف كام دورة.
الاحتمال 18/37 في الحالتين. راهن باللي خطتك بتقوله، أو ما تراهنش خالص.
لأ. الانحياز بيبان في خاناتالمعداتالخانةواحدة من الـ37 خانة المترقّمة على الدوّار. وبيتقال لها كمان: الفتحة، الكأس.اقرا الكلام كله ← بتصيب أكتر من غيرها على آلاف الدورات، مش في سلاسل من لون واحد.
متعة الرياضيات
جرّب تحلّها بنفسك الأول. كل حل متطبّق؛ افتحه لما تكون جاهز.
عجلة أوروبية محتاجة كام دورة في المتوسط لحد ما كل رقم من الـ37 رقم يطلع مرة واحدة على الأقل؟
وريني الحل
الإجابة حوالي 155 دورة في المتوسط؛ والوسيط 147.
احسب الانتظار رقم جديد واحد كل مرة. أول دورة دايمًا بتطلّع رقم جديد. بعد ما تشوف 1 رقم، فيه 36 خانةالمعداتالخانةواحدة من الـ37 خانة المترقّمة على الدوّار. وبيتقال لها كمان: الفتحة، الكأس.اقرا الكلام كله ← من 37 جديدة، وعشان كده الرقم الجديد اللي بعده محتاج في المتوسط 37/36 دورة. وبعد ما تشوف k أرقام، بياخد 37/(37 − k).
اجمع فترات الانتظار: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 دورة.
أغلب ده في الآخر. الرقم الأخير لوحده بياخد 37 دورة في المتوسط، والخمسة الأخرانيين حوالي 85. وفي عجلة أمريكاني نفس المجموع بيدّي حوالي 161. دي مسألة جامع الكوبونات؛ ونفس المتوسط بيطلع من الحساب المعياري.
في 37 دورة لعجلة أوروبية، دورة لكل خانة، متوقع تشوف كام رقم مختلف؟
وريني الحل
الإجابة حوالي 23.6. وحوالي تلت الأرقام، يعني تقريبًا 13، ما بيطلعش خالص.
خد رقم واحد، وليكن 17. في كل دورة احتمال إنه ما يطلعش 36/37، فبيغيب عن الـ37 دورة كلهم باحتمال (36/37)³⁷ ≈ 0.363.
كل رقم ليه نفس الاحتمال، ففي المتوسط بيغيب 37 × 0.363 ≈ 13.4 رقم وبيطلع 37 − 13.4 ≈ 23.6، وكتير منهم مرتين أو أكتر.
لاعيبة الروليت بيسمّوا ده «قانون الأتلات». وهو مش قانون، ده مجرد حساب للتكرارات: في سلسلة بطول العجلة، حوالي تلت الأرقام بيغيب، على العجلة النزيهة زي أي عجلة تانية. وعلى 38 خانة النسبة (37/38)³⁸ ≈ 0.363 برضه؛ وعلى عجلة كبيرة بتستقر قريب من 1/e ≈ 0.368.
صاحبك بيورّيك ليستتين من 50 لون، أحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنساوي: rouge.اقرا الكلام كله ← أو أسودرهانالأسودرهان بدفع متساوي على الـ18 رقم الأسود. بالفرنساوي: noir.اقرا الكلام كله ←، وبيقول إن كل واحدة جت من عجلة من غير الأصفارالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما بيغطيهاش أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر أفضلية الكازينو. وبيتقال لها كمان: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كله ←. الأولى اللون بيتغيّر فيها 25 مرة وأطول سلسلة فيها ست مرات. والتانية بيتغيّر فيها 35 مرة ومفيش سلسلة فيها أطول من تلات مرات. أنهي واحدة متألّفة؟
وريني الحل
الإجابة التانية. الليستة الحقيقية اللون بيتغيّر فيها حوالي 24 أو 25 مرة. والليستة اللي فيها 35 تغيير بتطلع حوالي مرة من كل 500 ليستة، واللي مفيش فيها سلسلة أطول من تلات مرات حوالي مرتين من كل 100.
كل لون جديد يا إما بيكرّر اللي قبله يا إما بيتغيّر، نص ونص، فالـ49 فرصة للتغيير بيدّوا 24.5 تغيير في المتوسط، زايد أو ناقص حوالي 3.5. وخمسة وتلاتين أكتر من المتوسط بتلات خطوات من دول؛ والعجلة النزيهة بتطلّع العدد ده من التغييرات حوالي مرة من كل 500 ليستة.
والسلاسل بتحكي نفس الحكاية. الليستة الحقيقية من 50 لون فيها سلسلة من أربع مرات أو أكتر في حوالي 98% من الحالات، وأطول سلسلة فيها غالبًا خمس أو ست مرات.
الناس لما تطلب منهم يألّفوا ليستة عشوائية بيكتّروا التغيير، عشان سلسلة من أربع أو خمس مرات بتبان لهم نمط. وتايلور (2021) بيوضّح نفس العلامة في ليستات رمي عملة ألّفها طلبة: العشوائية الحقيقية فيها سلاسل أكتر من اللي الناس متوقعاه.
كتاب من حكايات الكازينوهات بيحكي عن لاعب رقمه طلع خمس مرات ورا بعض، وبيعتبر ده رقم قياسي. ده نادر قد إيه على عجلة أوروبية؟ والمفروض يحصل كام مرة في أي حتة في كازينو واحد فيه 20 طاولة، كل واحدة بتلف 40 مرة في الساعة، ليل ونهار؟
وريني الحل
الإجابة رقم محدد من الأول خمس مرات ورا بعض: 1 من 69 مليون. وأي رقم يطلع أربع مرات تانيين بعد أول مرة: 1 من 1.87 مليون. والكازينو ده بيعمل حوالي 7 مليون دورة في السنة، فالمفروض يشوف سلسلة من خمسة تلات أو أربع مرات في السنة.
الرقم المحدد بيطلع باحتمال 1/37 كل دورة، فاحتمال إنه يطلع خمس مرات ورا بعض هو (1/37)⁵ = 1 من 69,343,957. بس محدش بيسمّي الرقم من الأول. فأيًّا كان اللي يطلع الأول، الأربع دورات اللي بعده لازم يكرروه: (1/37)⁴ = 1 من 1,874,161.
20 طاولة × 40 دورة × 24 ساعة × 365 يوم = 7,008,000 دورة في السنة. وكل دورة ممكن تبدأ سلسلة، فالكازينو متوقع 7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7 سلسلة من خمسة في السنة.
مفيش سجل رسمي من النوع ده، ومش محتاجينه: الحاجة النادرة على طاولة واحدة حاجة عادية على مستوى كازينو كامل، والحكايات بتتحكي عن الطاولة اللي حصلت عليها. والقصة، عند غولدمان (2007)، بتحصل على عجلة بصفر مزدوج، والأرقام هناك 1 من 79 مليون و1 من 2.09 مليون.
استراحة ضحك
السلاسل الطويلة هي شكل العشوائية الحقيقي.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.