التقارب على المدى الطويل: قانون الأعداد الكبيرة في الروليت
إزاي المتوسط بيستقر ناحية −2.70%، وليه ده بياخد وقت أطول من اللي الإحساس بيقوله.
متوسط الخسارة في الدورة بيقرّب من −1/37 كل ما الدورات تتراكم، وتشتته بيصغر زي 1/√N. بعد 1,000 دورة على الأحمر المتوسط غالبًا بيبقى في حدود ±3% من قيمته المتوقعة.
قانون الأعداد الكبيرة
المتوسط الجاري لرهانات مستقلة بيروح ناحية القيمة المتوقعةرياضياتالقيمة المتوقعةمتوسط النتيجة لكل رهان على المدى الطويل. −1/37 من مبلغ الرهان لكل رهان أوروبي عادي.اقرا الكلام كله ←. بعد N دورة على الدفع المتساوي بـوحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي النظام أو اللاعب شغال بيه. التدرّجات بتتوصف بالوحدات عشان تنفع على أي طاولة.اقرا الكلام كله ← واحدة، متوسط النتيجة في الدورة قيمته المتوقعة −1/37 وانحرافه المعياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ يعني المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.اقرا الكلام كله ← 1/√N. عند N = 100 التشتت ده بيبقى 10% من مبلغ الرهان، يعني تقريبًا أربع أضعاف الإشارة اللي هي 2.7%. عند N = 1,000 بيبقى 3.2%، تقريبًا قد الإشارة. عند N = 10,000 بيبقى 1%، والميزة بتبان بوضوح. الميزة مش باينة في جلسة، ومستحيل تغلط فيها في سنة.
إيه اللي بيتقارب وإيه اللي لأ
المتوسط في الدورة بيتقارب. المجموع لأ: ده بيبعد عن الصفر أكتر كل ما N تكبر، بحوالي 2.7% من N في المتوقع، وبتشتت √N حوالين كده. لاعب لعب 10,000 دورة بـ$10 المتوقع إنه يبقى خسران $2,700، زيادة أو نقص $1,000. النسبة الجارية للأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنساوي: rouge.اقرا الكلام كله ← استقرت من زمان قريب من 48.65%؛ لكن الرصيد الجاري ما استقرش في أي حتة.
- p10 −$440
- p25 −$280
- الوسيط −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
ليه الإحساس بيغلط
الناس بتتوقع إن الميزة تبان بسرعة عشان 2.70% شكلها كبير، وبيتوقعوا إن السلاسل الطويلة «تتعادل» عشان قانون الأعداد الكبيرةرياضياتقانون الأعداد الكبيرةمتوسط النتايج المستقلة بيقرّب من القيمة المتوقعة كل ما عدد التجارب يزيد.اقرا الكلام كله ← بيقول إن المتوسطات بتتقارب. الإحساسين الاتنين بيغلطوا في المقياس: الميزة صغيرة قصاد تباينرياضياتالتباينمقياس بيقول النتايج متفرّقة قد إيه حوالين القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وواطي في رهانات الدفع المتساوي.اقرا الكلام كله ← الدورة الواحدة (σ = 1 وحدة قصاد EV = 0.027)، فمحتاجة (1/0.027)² ≈ 1,400 دورة عشان تبان بقد سيغما واحدة. وتقارب المتوسط ما بيعملش أي حاجة عشان يرجّع المجموع لورا؛ ده بس بيخفف التذبذبات اللي فاتت.
التقارب في الرهانات التانية
في رهانات الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، وبيدفع 35:1.اقرا الكلام كله ← σ = 5.84، فنفس الحسبة بتدّي (5.84/0.027)² ≈ 47,000 دورة عشان الميزة توصل لسيغما واحدة. اللي بيراهن على الرقم الواحد ممكن يلعب سنين والميزة ما تبانش مختلفة عن الحظ في سجلاته هو، وهو بيدفع نفس الـ2.70% بالظبط اللي بيدفعها اللي بيراهن على الأحمر وبيشوفها في كام أسبوع.
ده معناه إيه لاختبار الأنظمة
أي حد بيقول إن نظام بينجح لازم يقدر يثبت ده على 10,000 دورة أو أكتر بمتوسط موجب متوثّق. عند 1,000 دورة المتوسط الموجب على الدفع المتساوي حدث بيحصل مرة من خمسة تحت فرضية العدم؛ وعند 100 دورة تقريبًا رمية عملة. والمحاكيات في الموقع ده بتشغّل 2,000 جلسة بالطول اللي تختاره في ثانية واحدة، ودي أدلة أكتر من أي شهادة.
الصيغة
أسئلة
احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة تحصل، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكلام كله ← إنك ترجع كسبان تاني في أي وقت بيقل ناحية الصفر كل ما تلعب. والمجموع بينزل من غير حد.
لأ. معناه إن التذبذبات اللي فاتت بتبقى جزء أصغر من عيّنة أكبر.
في الدفع المتساوي، حوالي 10,000 قبل ما الميزة تبان بوضوح. وفي رهانات الرقم الواحد، حوالي 50,000.
متعة الرياضيات
جرّب تحلّها بنفسك الأول. كل حل متطبّق؛ افتحه لما تكون جاهز.
صاحبين بيلعبوا 20 جولة من لعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة مفيش فيها طرف عنده أفضلية: القيمة المتوقعة لكل رهان صفر.اقرا الكلام كله ←، رمي عملة أو الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنساوي: rouge.اقرا الكلام كله ← ضد الأسودرهانالأسودرهان بدفع متساوي على الـ18 رقم الأسود. بالفرنساوي: noir.اقرا الكلام كله ← والرهانات بتتعاد عند الأصفارالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما بيغطيهاش أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر أفضلية الكازينو. وبيتقال لها كمان: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كله ←، وبيسجّلوا النتيجة أول بأول. عِدّ الجولات اللي كل واحد فيهم بيبقى متقدم فيها (التعادل بيتحسب للي كان متقدم قبله على طول). أنهي أرجح: إن التقدم يتقسم 10 جولات قصاد 10، ولا إن واحد فيهم يبقى متقدم في الـ20 جولة كلهم؟
وريني الحل
الإجابة إن واحد يبقى متقدم في الـ20 جولة كلهم أرجح بكتير: 35.2%، أيًّا كان الصاحب، قصاد 6.1% لتقسيم متساوي 10 قصاد 10.
احتمال إن النتيجة أول بأول في لعبة عادلة تبقى متعادلة بعد 2k جولة هو u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0.246 بعد 10 جولات و0.176 بعد 20. ونتيجة كلاسيكية، اسمها قانون قوس الجيب، بتقول إن احتمال إن صاحب معيّن يبقى متقدم في 2k جولة بالظبط من 2n هو u(2k) × u(2n − 2k).
التقدم في الـ20 جولة كلهم: u(20) × u(0) = 0.176 لكل صاحب، و35.2% لأي واحد فيهم. والتقسيم المتساوي: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%، وده أقل تقسيم احتمالًا خالص.
يعني في اللعبة العادلة التقدم نادرًا لما بينتقل من إيد لإيد. واللاعب اللي فضل متقدم طول السهرة، أو متأخر طولها، ما شافش حاجة غريبة، وده ما بيقولش أي حاجة عن العجلة ولا عن المهارة. وإبستين (2013) بيدّي نفس القانون للألعاب الأطول: في نص الحالات الطرف الأكتر حظ بيبقى متقدم في أكتر من 85% من اللعب.
استراحة ضحك
المتوسط بيتقارب. والمجموع ببساطة بيمشي.
المصادر
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.