مغالطة المقامر
إنك تصدّق إن نتيجة «عليها الدور» عشان بقالها فترة ما طلعتش.
بعد عشر مرات أحمر احتمال الأسود لسه 18/37. العجلة ما بتسجّلش حاجة ومش مديونة لحد بحاجة.
المغالطة
لو الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنساوي: rouge.اقرا الكلام كله ← طلع عشر مرات، لاعبين كتير بيحسّوا إن الأسودرهانالأسودرهان بدفع متساوي على الـ18 رقم الأسود. بالفرنساوي: noir.اقرا الكلام كله ← «عليه الدور» فيراهنوا عليه. وغيرهم بيحسّوا إن الأحمر «سخن» فيراهنوا عليه. الاتنين بيستنتجوا من متتالية خلصت خلاص عن دورة لسه ما حصلتش. الكورةالمعداتالكورةالكورة الصغيرة اللي بتتطلق في المسار عكس اتجاه الدوّار. الكور الحديثة من الإيفورين أو التفلون، وقطرها 18–21 مم.اقرا الكلام كله ← ما تعرفش آخر عشر دورات كانوا إيه؛ والخاناتالمعداتالخانةواحدة من الـ37 خانة المترقّمة على الدوّار. وبيتقال لها كمان: الفتحة، الكأس.اقرا الكلام كله ← بنفس المقاس اللي كانت عليه من ساعة؛ واحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة تحصل، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكلام كله ← الأسود 18/37 زي ما كان دايمًا.
ليه بتبان صح
على المدى الطويل نسبة الأحمر والأسود فعلًا بتقرّب من 18/37 لكل واحد. وقانون الأعداد الكبيرةرياضياتقانون الأعداد الكبيرةمتوسط النتايج المستقلة بيقرّب من القيمة المتوقعة كل ما عدد التجارب يزيد.اقرا الكلام كله ← بيضمن ده. بس التقارب بيحصل بالتخفيف مش بالتصحيح: بعد 1,000 دورة كمان، العشر مرات أحمر الزيادة بيبقوا غلطة تقريب في النسبة، مش عشان الأسود لحق، لكن عشان العينة كبرت. مفيش أي آلية بتخلّي الأسود أرجح، وقانون الأعداد الكبيرة مش محتاج آلية زي دي.
مونت كارلو، 18 أغسطس 1913
الأسود طلع 26 مرة ورا بعض على طاولة في كازينو مونت كارلو. ومن حوالي الأسود الخمستاشر، اللاعبين اتلمّوا على الأحمر، يضاعفوا ويضاعفوا تاني، وكل دورة «أكيدة أكتر» من اللي قبلها. والكازينو كسب ملايين الفرنكات. احتمال السلسلة دي كان 1 من 137 مليون من أول أسود، إنما احتمال إنها تحصل في يوم من الأيام في أي حتة في كازينوهات العالم كان عمليًا واحد. وعشان كده مغالطة المقامر بيتقال لها كمان مغالطة مونت كارلو.
مفيش حاجة غريبة. بتحصل مرة من كل 44.
اللاعيبة بيبتدوا ياخدوا بالهم. الأحمر «مستحق».
الطاولة زحمة. والرهانات على الأحمر بتتضاعف بعد كل خسارة.
ثروات بتضيع. وكل أسود جديد بيخلّي الأحمر يبان أكيد أكتر.
السلسلة بتخلص. والكازينو كسب ملايين الفرنكات من ناس راهنوا ضد سلسلة ما كانش ممكن «تعرف» إنها سلسلة.
اليد الساخنة
إنك تراهن على لون عشان هو في سلسلة هو نفس الغلطة بالمقلوب: بتستنى السلسلة تكمّل بدل ما تخلص. علماء النفس بيسمّوها «اليد الساخنةخرافةاليد الساخنةإنك تفتكر إن سلسلة مكاسب، أو نتيجة واحدة متكررة، بتخلّي تكرارها أرجح. وعند العجلة دي مغالطة المقامر بالمقلوب.اقرا الكلام كله ←»، على اسم دراسة عملها غيلوفيتش وفالوني وتفيرسكي سنة 1985 دوّرت على سلاسل في التصويب في كورة السلة وما لقيتش حاجة أكتر من الصدفة. وفي 2018 ميلر وسانخورخو بيّنوا إن الاختبار نفسه كان مايل: في سجل قصير، نسبة الإصابات اللي بعد إصابة على طول بتطلع في المتوسط أقل من المعدل العام للاعب، فاللاعب اللي ما عندوش يد ساخنة خالص بيبان بارد شوية. وبعد التصحيح نفس البيانات بتوري يد ساخنة بسيطة. البني آدم ممكن يسخن؛ إنما العجلة ملهاش فورمة أصلًا. وفيه لاعبين بيصدّقوا الاتنين مع بعض: إن السلسلة بتكمّل لحد ما تبقى «أطول من اللازم» وبعدين تخلص. على عجلة عادلة، كل نسخة من دول ليها نفس القيمة المتوقعةرياضياتالقيمة المتوقعةمتوسط النتيجة لكل رهان على المدى الطويل. −1/37 من مبلغ الرهان لكل رهان أوروبي عادي.اقرا الكلام كله ← بتاعة إنك تختار اللون برمي عملة: −2.70% من مبلغ الرهان.
على طاولة حقيقية
كروسون وسوندالي (2005) اتفرّجوا على 18 ساعة من فيديوهات كاميرات المراقبة لطاولة واحدة بـصفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما بيغطيهاش أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر أفضلية الكازينو. وبيتقال لها كمان: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كله ← مزدوج في كازينو كبير في رينو: 139 لاعب حطّوا 24,131 رهان. وعلى رهانات الدفع المتساويرهانرهان الدفع المتساويأحمر/أسود، فردي/زوجي، عالي/منخفض. 18 رقم، وبيدفع 1:1.اقرا الكلام كله ←، اللاعبين اتقسموا تقريبًا بالنص بين اللي بيمشوا مع السلاسل القصيرة واللي بيعاكسوها. بعد خمس نتايج زي بعض ورا بعض مالوا إنهم يراهنوا ضد السلسلة، وبعد ست أو أكتر 85% من رهاناتهم كانت على الناحية التانية. ونفس اللاعبين وروا «اليد الساخنة» على نفسهم: بعد مكسب على الأرقام كانوا بيغطوا في المتوسط 13.6 رقم في الدورة اللي بعدها، قصاد 9.2 بعد الخسارة. وعجلتهم ما بانش عليها أي انحياز، فولا حاجة من دي غيّرت اللي أي حد فيهم ممكن يتوقعه.
خارج الكازينو
نفس الشدّة دي بتظهر في الأماكن اللي فيها قرارات حقيقية. كلوتفلتر وكوك (1993) تابعوا لعبة الأرقام اليومية في ولاية ماريلاند: الفلوس اللي بتتراهن على رقم كانت بتنزل جامد أول ما يتسحب، وبتاخد شهور عشان ترجع، مع إن السحب ملوش ذاكرة. وتشن وموسكوفيتز وشو (2016) لقوها عند المحترفين. قضاة اللجوء في الولايات المتحدة كانوا أقرب إنهم يرفضوا القضية بما يوصل لـ3.3 نقطة مئوية لو كانوا قبلوا اللي قبلها. وحكام البيسبول كانوا أقل ميل بـ1.5 نقطة إنهم يحتسبوا «ضربة» (strike) بعد ما احتسبوا واحدة، وأكتر من الضعف في الرميات الصعبة. وفي تجربة ميدانية مع موظفين قروض بياخدوا أجر ثابت، لحد 9% من القرارات اتقلبت بالشكل ده. القضايا كانت بتيجي بترتيب عشوائي، فالقرار اللي فات ما كانش بيقول حاجة عن اللي جاي، بالظبط زي ما الدورة اللي فاتت ما بتقولش حاجة عن اللي بعدها.
مغالطة المقامر المعكوسة
الفيلسوف إيان هاكينغ (1987) سمّى نسخة تالتة. واحد بيدخل أوضة، يشوف زهرين وقعوا دُش، فيستنتج إنهم أكيد اترموا مرات كتير قبل كده. كل رمية ليها نفس الاحتمال إنها تطلع دُش، سواء كانت أول رمية في السهرة أو الرمية الألف، فاللي شافه ما بيقولش حاجة عن اللعب بقاله قد إيه. وفي الروليت ده اللاعب اللي بيوصل للوحة نتايج فيها تمن مرات أحمر فيقرر إن الطاولة أكيد بقالها ساعات بتلف عشان تطلّعهم. المغالطة العادية بتقرا اللي فات في الدورة الجاية؛ ودي بتقرا منظر نادر في ماضي محدش شافه.
عالم نفس صدّقها
المغالطة دي كان ليها مدافعين متعلمين. عالم النفس الألماني كارل ماربه راجع أربع سجلات مواليد في كل واحد 49,152 ولادة، ولقى إن أطول سلسلة ولاد أو بنات ورا بعض كانت 17، واستنتج إن السلاسل الطويلة أندر من اللي الصدفة بتسمح بيه، وإن السلسلة بتخلّي النتيجة التانية أرجح. بس الصدفة لوحدها بتقول غير كده: في 196,608 ولادة، سلسلة من 17 أو أكتر بتظهر في حوالي أربع مرات من كل خمسة. ماربه كان لاقي بالظبط شكل المتتالية العشوائية. وإبستين (2013) بيحكي القصة تاني؛ وصفحة احتمال السلاسل فيها نسختها في الروليت.
إمتى المغالطة ما تنطبقش
لو العجلة كانت منحازة فعلًا، الدورات اللي فاتت كانت هتفيد، عشان ساعتها هتبقى دليل على الخانات مش على الحظ. ودي موضوع المختبر، ومحتاجة آلاف الدورات من عجلة واحدة معروفة عشان تقول أي حاجة. إنما سلسلة عشر مرات أحمر على عجلة مش معروفة، فتفسيرها بالانحياز أقل احتمال بكتير من تفسيرها بالصدفة.
أسئلة
لأ. بتنطبق على أي حدث مستقل بيتكرر: الزهر، والعملة، وأرقام اليانصيب.
النسبتين هيقرّبوا من بعض. بس نتيجتك هتفضل حوالي −2.70% من اللي راهنت بيه.
مفيش حاجة اسمها قانون المتوسطات. فيه قانون الأعداد الكبيرة، وده بيشتغل بالتخفيف.
متعة الرياضيات
جرّب تحلّها بنفسك الأول. كل حل متطبّق؛ افتحه لما تكون جاهز.
بعد 10 رميات عملة طلعت 7 مرات صورة و3 مرات كتابة. وبعد 1,000 رمية طلعت 517 صورة و483 كتابة. هل الكتابة لحقت الصورة؟
وريني الحل
الإجابة لأ. الفرق كبر من 4 لـ34. النسبة بس هي اللي قرّبت من التساوي.
نسبة الصورة للكتابة نزلت من 7/3، يعني حوالي 2.33، لـ517/483، يعني حوالي 1.07. ده قانون الأعداد الكبيرةرياضياتقانون الأعداد الكبيرةمتوسط النتايج المستقلة بيقرّب من القيمة المتوقعة كل ما عدد التجارب يزيد.اقرا الكلام كله ← وهو شغّال.
أما الفرق بينهم فكبر، من 4 لـ34. مع عملة نزيهة، فرق حوالي 30 بعد 1,000 رمية حاجة عادية: الفرق المعتاد بيكبر تقريبًا مع الجذر التربيعي لعدد الرميات، والنسبة بتستقر ناحية 1.
مفيش حاجة شدّت الكتابة لورا. الزيادة اللي كانت في الصورة في الأول ساحت في الـ990 رمية اللي بعدها، ومااتصلحتش.
ارمي عملة أربع مرات وبص بس على الرميات اللي بتيجي على طول بعد الصورة. إيه نسبة الصورة فيهم؟ احسبها لكل متتالية من الـ16 متتالية الممكنة وخد متوسط النسب. هل هو 50%؟
وريني الحل
الإجابة لأ. هو 17/42، يعني حوالي 40.5%. وبالطريقة دي في البص العملة النزيهة بتبان كأنها «بتبرد» بعد الصورة.
اكتب الـ16 متتالية (H للصورة وT للكتابة). اتنين منهم، TTTT وTTTH، مافيش صورة في أول تلات رميات فيهم، فمفيش حاجة جاية بعد صورة؛ فيفضل 14.
في كل واحدة خد الرميات اللي جاية بعد صورة واحسب نسبة الصورة فيهم. HHHH بتدّي 3 من 3. وHHHT بتدّي 2 من 3. وHTHT بتدّي 0 من 2. ولو عدّيت على الـ14 كلهم: ست متتاليات بيدّوا 0، وأربعة بيدّوا 1/2، وواحدة بتدّي 2/3، وتلاتة بيدّوا 1 (HHHH وTHHH وTTHH).
اجمع النسب: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. واقسم على 14: 17/42 ≈ 40.5%.
مفيش ولا رمية بتميل للكتابة؛ كل رمية 50–50. الميل جاي من إنك بتحسب المتوسط متتالية متتالية: المتتالية المليانة صور فيها رميات كتير تبص عليها لكنها بتتحسب مرة واحدة، زي متتالية فيها صورة واحدة بس. وميلر وسانخورخو (2018) وضّحوا إن دراسة «الإيد السخنة» سنة 1985 قاست لاعيبة كورة السلة بالطريقة دي، فاللاعيبة اللي ماكانوش باينين أميل للسلاسل من الصدفة كانوا في الحقيقة أميل لها شوية.
استراحة ضحك
تخفيف، مش تصحيح. العجلة مش مديونة لحد بحاجة.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”