معيار كيلي والروليت
معيار كيلي بيقول للمراهن اللي عنده ميزة يراهن بقد إيه. وفي الروليت بيدّي إجابة واضحة: ولا حاجة.
مبلغ كيلي = الميزة / نسبة الدفع. ولو الميزة سالبة الصيغة بتطلّع نسبة سالبة، ومعناها: ما تراهنش. ومع كده المعيار مفيد عشان تفهم ليه لاعيبة الانحياز حددوا رهاناتهم بالشكل ده، وليه أي حد تاني لازم يحدد رهانه على حسب الميزانية.
المعيار
جون كيلي (1956) سأل: المقامر اللي عنده ميزة معروفة المفروض يحدد رهاناته إزاي عشان يكبّر رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ كله اللي مخصّصه للعب. وإدارة رأس المال هي إنك تحدد الجزء اللي هتخاطر بيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا الكلام كله ← أقصى حاجة على المدى الطويل؟ والإجابة، لرهان بيدفع b مقابل 1 باحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة تحصل، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكلام كله ← مكسب p واحتمال خسارة q = 1 − p، إنك تراهن بنسبة f* = (bp − q) / b من رأس المال. لو f* موجبة راهن بالنسبة دي؛ لو صفر أو سالبة ما تراهنش. كيلي كان شغال في معامل بل، وبحثه «A new interpretation of information rate» (تفسير جديد لمعدل المعلومات) حط المسألة جوه نظرية المعلومات بتاعة كلود شانون: المقامر اللي بتوصله المعلومات على خط فيه تشويش، بنسب دفع عادلة، أقصى حاجة يقدر يكبّر رأس المال بنفس المعدل اللي الخط بينقل بيه المعلومات. وفي 1961 ليو بريمان أثبت إن رهان كيلي، على المدى الطويل، بيخلص متقدّم على أي استراتيجية مختلفة عنه جوهريًا، وبيوصل لهدف محدد في أقصر وقت تقريبًا.
رهان كيلي في الروليت
للأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنساوي: rouge.اقرا الكلام كله ←: b = 1، p = 18/37، q = 19/37؛ f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. لرهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، وبيدفع 35:1.اقرا الكلام كله ←: b = 35، p = 1/37، q = 36/37؛ f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. كل رهان قياسي بيدّي نسبة كيلي سالبة، عشان كل رهان ميزته سالبة، والمبلغ الأمثل للنمو هو صفر. رهان كيلي في الروليت طريقة رسمية تقول بيها اللي صفحة أفضلية الكازينو بتقوله: مفيش مبلغ يخلّي رهان قيمته المتوقعة سالبة يكبّر رأس المال.
فين كيلي اتطبّق فعلًا
لاعيبة الانحياز كان عندهم ميزة ومشكلة في تحديد المبالغ. جاغر وعيلة غارسيا بيلايو واليودايمونيين، كلهم كان لازم يقرروا يراهنوا بقد إيه على الميزة اللي قاسوها؛ الرهان بأقل من اللازم بيضيّع الميزة، والرهان بأكتر من اللازم بيخاطر بالإفلاس قبل ما الميزة تبان. لـخانةالمعداتالخانةواحدة من الـ37 خانة المترقّمة على الدوّار. وبيتقال لها كمان: الفتحة، الكأس.اقرا الكلام كله ← بتصيب 1 من 30، كيلي بيقول 0.57% من رأس المال في كل دورة على الرقم ده: برأس مال $10,000، حوالي $57 في الدورة، لنمو نموذجي حوالي 0.054% في الدورة، يعني ×1.7 في 1,000 دورة. متوسط المكسب ضعف كده، 0.11% في الدورة، بس كيلي بيستهدف رأس المال النموذجي مش المتوسط، اللي بتنفخه كام سلسلة محظوظة. ونص كيلي هو الاختيار العملي المعتاد عشان تقدير الميزة مش أكيد.
النموذجي والمتوسط
الفرق بين رأس المال النموذجي والمتوسط كبير. خد خانة بتطلع 1 من 25 مرة، يعني ميزة 44%، وده الرقم اللي ثورب بيديه لجهازه. كيلي بيراهن عليها بـ1.26% من رأس المال. بعد 1,000 دورة رأس المال النموذجي بيكون كبر حوالي 11.5 مرة، لكن المتوسط، اللي بترفعه كام سلسلة محظوظة قوي، بيكون كبر حوالي 249 مرة. الرهان بأكتر من كيلي بيرفع المتوسط وبينزّل النتيجة النموذجية: عند ضعف مبلغ كيلي رأس المال النموذجي بيتضاعف بس، وعند مرتين ونص مبلغ كيلي بيصغر، مع إن كل رهان لسه فيه ميزة 44%. أما الرهان بأقل فتمنه قليل: نص المبلغ بيحافظ على حوالي تلات تربع النمو.
لما الميزة تبقى تخمين
كيلي بيفترض إن الميزة معروفة. على الطاولة هي بتتقدّر، والتقدير غالبًا بيطلع أعلى من الحقيقة. مثال إبستين، المبني على الـ44% بتاعة ثورب، رقم طلع 49 مرة في 1,225 دورة على عجلة بصفرينالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما بيغطيهاش أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر أفضلية الكازينو. وبيتقال لها كمان: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كله ←: 1 من 25 مرة، يعني ميزة 44% ومبلغ كيلي 1.26%. بس العجلة النزيهة اللي بصفرين فيها 38 رقم، وأكتر واحد فيهم طلوعًا بيوصل لـ49 أو أكتر في 1,225 دورة حوالي مرة من تسعة. وأكتر رقم طلوعًا في أي سجل هو كمان الرقم اللي الحظ ساعده أكتر، فحتى الخانة المنحازة بجد بتبان في السجل أحسن من حقيقتها: لعنة الفايز. ولو الخانة دي في الحقيقة مش منحازة، يبقى مبلغ كيلي مجرد رهان بيخسر 5.26% في المتوسط. والحلول المعتادة إنك تراهن بجزء من كيلي، وتفضل تعدّ لحد ما الميزة تصمد في سجل جديد (بص على «إزاي تكشف انحياز عجلة الروليت»).
ناس عندها ميزة
إنك تعرف الميزة حاجة، وإنك تستعملها صح حاجة تانية. هاغاني وديوي (2016) إدّوا 61 شخص $25 لكل واحد عشان يراهنوا نص ساعة على عملة اتقالهم إنها بتيجي صورة 60% من المرات، والمكسب ليه سقف $250 (اللاعبين ما عرفوش بالسقف غير لما وصلوله). كيلي بيقول راهن بـ20% من رأس المال على الصورة كل مرة، والباحثين بيقدّروا إن رهانات ثابتة من 10 لـ20% كانت هتوصل للسقف حوالي 95% من المرات. بس 21% بس من اللاعبين وصلوا. 28% فلّسوا، و18 من الـ61 راهنوا بكل حاجة على رمية واحدة، وحوالي التلت خلّصوا بأقل من الـ$25 اللي بدأوا بيهم، ومتوسط الدفعالمالالدفعاللي بيرجّعه الرهان الكسبان، وبيتقال بصيغة «X مقابل 1» فوق مبلغ الرهان اللي بيرجع.اقرا الكلام كله ← كان $91. وخمسة بس من الـ61 كانوا سمعوا عن معيار كيلي. لو عندك ميزة، حجم الرهانات هو اللي بيقرر هتحافظ عليها ولا لأ؛ ومن غيرها، زي على عجلة نزيهة، مفيش حجم بينفع.
تستعمل إيه بداله
من غير ميزة، تحديد المبلغ مسألة ميزانية مش مسألة نمو: مبلغ الرهان = اللي إنت مستعد تصرفه في كل دورة، طالع من ميزانية الساعة وسرعة الطاولة (صفحة إدارة رأس المال). اللي كيلي بيقدّمه للاعب العادي هو وضوح إجابته: صفر. وأي حاجة بتراهن بيها فوق الصفر هي تمن اللعب، إنت اللي بتختاره، ومفيش صيغة بتحسّنه.
ملاحظة عن كيلي الجزئي و«إدارة الفلوس»
الأنظمة اللي بتتباع على إنها «كيلي للروليت» وبتنصح بنسبة ثابتة من رأس المال في كل رهان هي رهان ثابتاستراتيجيةالرهان الثابتإنك تراهن بنفس المبلغ كل دورة. ده الخط الأساسي اللي أي تدرّج بيتقارن بيه.اقرا الكلام كله ← بمبلغ بيصغر. بتخسر 2.70% من إجمالي المراهناتالمالإجمالي المراهناتإجمالي المبلغ اللي اتراهن بيه في جلسة أو فترة، ومعاه المكاسب اللي اتراهن بيها تاني. وبيتقال له كمان: handle، action.اقرا الكلام كله ←، وعشان المبلغ بيصغر كل ما تخسر، بتخلّي الإفلاس بطيء مش مستبعد. دي طريقة معقولة تطوّل بيها الميزانية؛ لكنها مش كيلي، اللي كان هيقولك تبطّل.
الصيغة
أسئلة
بس لو فيه ميزة مقاسة من عجلة منحازةالمختبرالعجلة المنحازةعجلة عيوبها المادية بتخلّي بعض الخانات احتمالها أكبر من 1/37. نادرة، وما بتنكشفش غير بآلاف الدورات المتسجّلة.اقرا الكلام كله ← أو من جهاز توقيت. مش على عجلة نزيهة.
عشان تقدير الميزة فيه غلط، والرهان بأكتر من اللازم مكلّف أكتر من الرهان بأقل. نص كيلي بيدّي تلات تربع النمو بربع التباينرياضياتالتباينمقياس بيقول النتايج متفرّقة قد إيه حوالين القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وواطي في رهانات الدفع المتساوي.اقرا الكلام كله ←.
لأ. كيلي بيحسّن النمو لما يكون فيه ميزة. وإدارة رأس المال بتظبط الصرف لما ما يكونش فيه.
متعة الرياضيات
جرّب تحلّها بنفسك الأول. كل حل متطبّق؛ افتحه لما تكون جاهز.
جهاز التنبؤ اللي عمله ثورب وشانون كان بيدّي ميزة حوالي 44%. وعلى رقم واحد متنبّأ بيه، معيار كيلي بيقول تراهن بـ1.26% من رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ كله اللي مخصّصه للعب. وإدارة رأس المال هي إنك تحدد الجزء اللي هتخاطر بيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا الكلام كله ←. طب لو نفس الميزة، 44%، جت على رهان واحد متوزّع على خمس أرقام جنب بعض؟
وريني الحل
الإجابة ساعتها معيار كيلي بيقول 7.1% من رأس المال، ورأس المال بيكبر أسرع بحوالي ست مرات: حوالي 1.25 مليون ضعف على مدى 1,000 رهان، قصاد حوالي 11.5 ضعف.
رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، وبيدفع 35:1.اقرا الكلام كله ← بميزة 44% بيكسب باحتمال 0.04، عشان 36 × 0.04 = 1.44. ومبلغ كيلي هو الميزة مقسومة على نسبة الدفع: 0.44/35 = 1.26%. والنمو النموذجي في كل رهان هو 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244، فالـ1,000 رهان بيضربوا رأس المال في حوالي e^2.44 ≈ 11.5.
وزّع مبلغ رهان واحد على خمس أرقام فالرهان يكسب باحتمال 0.20 ويدفع 36/5 لكل 1، يعني 6.2 مقابل 1: الميزة لسه 44%، عشان 0.2 × 7.2 = 1.44. ومبلغ كيلي بيبقى 0.44/6.2 = 7.10%، والنمو في كل رهان 0.01404، يعني حوالي 5.75 ضعف. وعلى مدى 1,000 رهان ده يبقى e^14.04، يعني حوالي 1.25 مليون.
الميزة واحدة؛ والطلوع والنزول أصغر. فالرهان اللي بيكسب مرة من كل خمسة يقدر يشيل حصة أكبر من رأس المال من غير ما يخاطر بالإفلاس، ونمو كيلي بيكافئ ده. وثورب (1984) بيستخدم المثال ده عشان يوضّح ليه لاعيبة التنبؤ بيراهنوا على القطاعاتالعجلةالقطاعقوس متصل من الخانات على العجلة، غير المجموعة اللي على لوحة الرهان.اقرا الكلام كله ←. وفي الواقع خمس جيرانرهانالجيرانرقم والخانتين اللي على كل ناحية منه على العجلة، يعني خمس فيش على أرقام فردية.اقرا الكلام كله ← ميزتهم أقل شوية من أحسن رقم لوحده (شوف اللعب بميزة).
لاعب لقى خانتينالمعداتالخانةواحدة من الـ37 خانة المترقّمة على الدوّار. وبيتقال لها كمان: الفتحة، الكأس.اقرا الكلام كله ← جنب بعض كل واحدة فيهم بتطلع بنسبة 1 من 25 بدل 1 من 37. يراهن على رهان الرقمينرهانرهان الرقمينرقمين جنب بعض، وبيدفع 17:1.اقرا الكلام كله ← بينهم بدفع 17 مقابل 1، ولا على كل رقم برهان الرقم الواحد؟ كيلي بيقول كام، ورأس المال بيكبر بسرعة قد إيه مقارنةً بخانة واحدة من النوع ده؟
وريني الحل
الإجابة مفيش فرق: 2.59% من رأس المال على رهان الرقمين، أو 1.29% على كل رقم. ورأس المال النموذجي بيكبر حوالي 155 مرة في 1,000 دورة، قصاد 11.5 مرة مع خانة واحدة.
رهان الرقمين بيكسب، واحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة تحصل، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكلام كله ← ده 2/25 = 0.08، وبيدفع 17 مقابل 1، فبيرجّع 18 × 0.08 = 1.44 عن كل وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي النظام أو اللاعب شغال بيه. التدرّجات بتتوصف بالوحدات عشان تنفع على أي طاولة.اقرا الكلام كله ← متراهن بيها: ميزة 44%، زي خانة منحازة واحدة. ومبلغ كيلي هو الميزة مقسومة على نسبة الدفع: 0.44/17 = 2.59%.
رهانين على الرقم الواحد بنسبة 1.29% لكل واحد بيدّوا نفس النتايج بالظبط. لما واحد من الرقمين يطلع، فيشةالمالالفيشةقطعة بتمثل مبلغ ثابت، بتتحط على لوحة الرهان عشان تعمل رهان. بتتسمّى كمان: check.اقرا الكلام كله ← بتكسب 35 مقابل 1 والتانية بتخسر، والصافي 34 × 1.29% = 44% من رأس المال، زي ما رهان الرقمين بيدفع؛ ولما ولا واحد فيهم يطلع، الاتنين بيخسروا.
النمو في كل دورة 0.00505، قصاد 0.00244 لخانة واحدة، فعلى مدى 1,000 دورة رأس المال النموذجي بيكبر e^5.046 ≈ 155 مرة بدل e^2.44 ≈ 11.5 مرة. يعني رقمين كويسين يساووا أكتر بكتير من ضعف رقم واحد، وعشان كده لاعيبة الانحياز بيراهنوا على مجموعات أرقام. وثورب (1984) بيعمل نفس المقارنة.
استراحة ضحك
المبلغ الأمثل للنمو في الروليت رقم كلنا عارفينه أصلًا.
المصادر
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”