مسألة: عجلة أعياد الميلاد
محتاج كام دورة قبل ما رقم يتكرر؟ أقل بكتير من اللي أغلب الناس بيخمّنوه.
مسألة عيد الميلاد على عجلة فيها 37 خانةالمعداتالخانةواحدة من الـ37 خانة المترقّمة على الدوّار. وبيتقال لها كمان: الفتحة، الكأس.اقرا الكلام كله ←: بعد 8 دورات بس احتمال إن رقم يكون طلع مرتين بيبقى أكتر من النص. اللاعبين بيقروا التكرار على إنه نمط؛ وهو التصرف المتوقع من عجلة نزيهة.
المسألة
لفّ عجلة أوروبية نزيهة. محتاج كام دورة لحد ما احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة تحصل، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكلام كله ← إن دورتين على الأقل يطلعوا نفس الرقم يعدّي النص؟ أغلب اللاعبين بيخمّنوا حاجة حوالين 18 أو 19، نص الـ37. الإجابة 8.
الحل
احسب احتمال إن مفيش تكرار واطرحه من الواحد. بعد k دورة، p(كلهم مختلفين) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). عند k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44، يعني p(فيه تكرار) ≈ 0.56. عند k = 14 بيبقى 0.93؛ وعند k = 20 بيبقى 0.996. الإحساس بيغلط عشان عدد أزواج الدورات بيكبر زي k²، وأي زوج فيهم ممكن يتطابق.
ليه ده مهم على الطاولة
لوحة نتايج فيها آخر 20 رقم تقريبًا دايمًا هتعرض تكرار واحد على الأقل، وكتير اتنين أو تلاتة. اللاعبين بيشوفوا «17 طلع مرتين في عشر دورات» ويستنتجوا إن 17 رقم سخن؛ لكن حسبة عيد الميلاد بتقول إن تكرار في عشر دورات بيحصل 74% من المرات والرقم اللي اتكرر عشوائي. النمط حقيقي؛ المعنى لأ.
المسألة اللي بعدها
محتاج كام دورة لحد ما رقم معيّن، خلّيه 17، يطلع مرتين؟ ده سؤال تاني وإجابته أكبر بكتير: الانتظار المتوقع 74 دورة، واحتمال إن 17 يطلع مرتين في 20 دورة حوالي 10%. الفرق بين «أي رقم يتكرر» (8 دورات) و«الرقم ده يتكرر» (74 دورة) هو كل الفرق بين نمط بتلاحظه بعد ما يحصل وتنبؤ بتقوله قبلها.
جرّبها
شغّل اللعبة التجريبية عشر دورات وبص على السجل. غالبًا هيبقى فيه تكرار. شغّلها تاني. الرقم اللي هيتكرر هيبقى مختلف. اعمل كده عشر مرات تبقى شفت مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادمحتاج كام شخص عشان يبقى مرجّح إن اتنين منهم عيد ميلادهم في نفس اليوم، أو محتاج كام دورة عشان يبقى مرجّح إن رقم يتكرر. على عجلة فيها 37 خانة كفاية 8 دورات عشان الاحتمال يبقى أكبر من النص.اقرا الكلام كله ←؛ واعملها ألف مرة (المحاكيات تقدر) تبقى قستها.
الصيغة
أسئلة
بالظبط، بس 37 خانة بدل 365 يوم. 23 شخص بيدّوا 50% في أعياد الميلاد؛ و8 دورات بيدّوا 56% في العجلة.
احتمال 50% بعد حوالي 19 دورة. برضه حاجة عادية.
لأ. آلاف الدورات من عجلة واحدة ممكن تقول كده؛ لكن التكرار عمره ما بيقول.
متعة الرياضيات
جرّب تحلّها بنفسك الأول. كل حل متطبّق؛ افتحه لما تكون جاهز.
لوحة النتايج اللي جنب عجلة أمريكية بتعرض آخر 16 دورة. إيه احتمال إن مفيش رقم يظهر عليها مرتين؟
وريني الحل
الإجابة حوالي 2.5%: حوالي 39 لوحة من كل 40 بيبان فيها تكرار واحد على الأقل.
امشي دورة ورا دورة. الدورة الأولى ممكن تبقى أي رقم. والتانية لازم تيجي غيره: 37 احتمال من 38. والتالتة لازم تيجي غير الرقمين: 36 من 38. والستاشر لازم تيجي غير خمستاشر رقم: 23 من 38.
اضرب: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
اللوحة اللي مافيهاش تكرار هي النادرة. واللوحة اللي فيها تكرار مابتقولش أي حاجة عن العجلة.
في عشر دورات على عجلة أوروبية، إيه احتمال إن الرقم 17 يطلع خمس مرات بالظبط؟ وإن رقم ما، أي رقم، يطلع خمس مرات أو أكتر؟ وإن رقم ما يطلع تلات مرات على الأقل في أربع دورات؟
وريني الحل
الإجابة الرقم 17 خمس مرات بالظبط: 1 من 315,576. رقم ما خمس مرات أو أكتر: حوالي 1 من 8,333. رقم ما تلات مرات أو أكتر في أربع دورات: 1 من 349.
الرقم 17 خمس مرات: اختار أي خمسة من العشر دورات، وده 252 طريقة، وكل واحدة احتمالها (1/37)⁵ × (36/37)⁵. مع بعض، 1 من 315,576.
رقم ما: كل رقم من الـ37 احتماله 1 من 308,325 إنه ياخد خمس إصابات أو أكتر، وده بيدّي 37 من 308,325، أو 1 من 8,333. الحالة النادرة اللي فيها رقمين كل واحد خمس إصابات بتتحسب مرتين، بس شيلها مش بيغيّر حاجة بالدقة دي.
تلات مرات في أربع دورات: لرقم واحد، 4 × 36 + 1 = 145 من الـ37⁴ نتيجة ممكنة؛ ولأي رقم من الـ37، 145/37³ = 1 من 349.
ولعجلة بصفرينالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما بيغطيهاش أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر أفضلية الكازينو. وبيتقال لها كمان: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كله ←، الأرقام المقابلة بتبقى 1 من 359,275 و1 من 9,243 و1 من 368. والفرق بين «17» و«رقم ما» هو مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادمحتاج كام شخص عشان يبقى مرجّح إن اتنين منهم عيد ميلادهم في نفس اليوم، أو محتاج كام دورة عشان يبقى مرجّح إن رقم يتكرر. على عجلة فيها 37 خانة كفاية 8 دورات عشان الاحتمال يبقى أكبر من النص.اقرا الكلام كله ← تاني: فيه 37 طريقة تتفاجئ بيها.
استراحة ضحك
حاجة بتتكرر بدري. والحاجة دي عشوائية.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”، أسئلة عن الروليت.