مسألة: حدّ الطاولة
مارتينغال بـ$10 على طاولة حدها $500. بيتكسر كام مرة، وبيخسر قد إيه لما يتكسر، ورفع الحد بيفرق؟
ست خسارات ورا بعض بيكسروه: 1.8% في كل دورة كاملة من النظام، وحوالي 60% من جلسات الـ100 دورة. الكسرة بتكلّف $630. رفع الحد لـ$5,000 بيخلّي الكسرة أندر (0.25% في كل دورة كاملة) وأكبر ($5,110). والخسارة المتوقعة لكل دولار مراهن بيه 2.70% عند أي حد.
المسألة
لاعب بيراهن بـ$10 على الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنساوي: rouge.اقرا الكلام كله ← وبيضاعف بعد كل خسارة، وبيرجع للأول بعد ما يكسب. الحد الأقصى للطاولة $500. (a) كام خسارة ورا بعض بيكسروا التدرّجاستراتيجيةالتدرّجأي قاعدة بتغيّر مبلغ الرهان حسب النتايج اللي فاتت. التدرّجات السلبية بتعلّيه بعد الخسارة، والإيجابية بعد المكسب.اقرا الكلام كله ←؟ (b) الاحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة تحصل، من 0 لـ1 أو من 0% لـ100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرا الكلام كله ← كام في كل حلقة؟ (c) إيه اللي بيضيع عند الكسر؟ (d) حد $5,000 بيغيّر الإجابات إزاي؟ (e) فيه أي حد بيخلّي النظام كسبان؟
حلول (a)–(c)
مبالغ الرهان: 10، 20، 40، 80، 160، 320. السابع هيبقى 640 > 500، فست خسارات بيكسروه. (b) p(الخسارة) = 19/37 على الأحمر؛ (19/37)⁶ = 0.0183، يعني حوالي 1.8% في كل حلقة. الحلقة بتاخد حوالي دورتين في المتوسط، فجلسة 100 دورة فيها تقريبًا 50 حلقة، وp(كسر واحد على الأقل) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، يعني 63 وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي النظام أو اللاعب شغال بيه. التدرّجات بتتوصف بالوحدات عشان تنفع على أي طاولة.اقرا الكلام كله ← أساسية، قصاد الـ$10 اللي الحلقة كانت بتحاول تكسبهم.
حل (d)
عند $5,000: مبالغ الرهان لحد 2,560 مسموحة؛ والرهان العاشر، 5,120، بيترفض. تسع خسارات بيكسروه: (19/37)⁹ ≈ 0.25% في كل حلقة، يعني حوالي 11% من جلسات الـ100 دورة. الخسارة عند الكسر: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. اللاعب اشترى كارثة أندر بتمن كارثة أكبر. وعلى جلسات كتير التكلفة المتوقعة للكسرات p × الخسارة ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 في كل حلقة عند حد $500، و0.0025 × 5,110 = $12.8 عند $5,000؛ ودي، في حدود التقريب، نفس الرقم، وهي الخسارة المتوقعةرياضياتالخسارة المتوقعةالقيمة المتوقعة مضروبة في المبلغ الكلي اللي اتراهن بيه؛ يعني متوسط المبلغ اللي بيضيع على مدى جلسة أو فترة.اقرا الكلام كله ← للحلقة زائد الـ$10 اللي الحلقات الكسبانة بتجيبهم.
حل (e)
لأ. الخسارة المتوقعة في كل حلقة = (إجمالي مبلغ الرهان المتوقع في الحلقة) / 37، عند أي حد، عشان كل رهان −1/37 من نفسه. الحد بيقرر بس الخسارة هتتوزع إزاي بين مكاسب صغيرة كتير وخسارات كبيرة قليلة. من غير حد ومع رأس مالالمالرأس مال اللعبالمبلغ كله اللي مخصّصه للعب. وإدارة رأس المال هي إنك تحدد الجزء اللي هتخاطر بيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرا الكلام كله ← مالوش آخر التدرّج كان «هينجح»، بمعنى إنه عمره ما هيتكسر، وكان كمان هيراهن بمبلغ مالوش آخر بخسارة متوقعة 2.70% من المبلغ ده. مش حد الطاولةالطاولةحدّ الطاولةالحدّ الأدنى والحدّ الأقصى المسموح بيهم للرهان. والحدّ الأقصى هو اللي بيوقف تدرّجات المضاعفة.اقرا الكلام كله ← هو اللي بيمنع مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج بيضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية عشان تعرف بيعمل إيه وما بيعملش إيه.اقرا الكلام كله ← إنه ينجح. الحساب هو اللي بيمنعه.
طاولتين حقيقيتين
مثال ثورب طاولة حدها الأدنى $1 والأقصى $1,000، لاعب فيها عايز يكسب $30 تمن العشا دولار ورا دولار. مبالغ الرهان 1، 2، 4 … 512 بتسمح بعشر رهانات، فعشر خسارات ورا بعض بيكسروا التدرّج: مرة كل 785 حلقة على العجلة الأوروبية (ومرة كل 613 على الأمريكية)، بتكلفة $1,023. التلاتين حلقة كلهم بينجحوا 96.2% من المرات. والـ3.8% الباقيين بيخسروا حوالي $1,000، ومتوسط نتيجة السهرة −$9.17، وده بالظبط 1/37 من الـ$339 اللي التلاتين حلقة بيراهنوا بيهم في المتوسط. وطاولة حدها الأدنى $5 والأقصى $2,000 مش مختلفة: مبالغ الرهان لحد $1,280 بتسمح بتسع رهانات، والكسر بييجي مرة كل 403 حلقة على العجلة الأوروبية (ومرة كل 323 على الأمريكية) وبيكلّف $2,555.
لاعب غني
إدّي التدرّج رأس مال كبير بدل حد واطي: 1,000 وحدة، ورهان أساسي وحدة واحدة، و1,000 دورة على الأحمر، والرجوع لوحدة واحدة كل ما المضاعفة الجاية تبقى أكبر من اللي فاضل. عملنا محاكاة لمليون سهرة زي دي. على العجلة الأوروبية 52% بيخلصوا كسبانين، و21% بيخسروا كل حاجة، ومتوسط النتيجة −124 وحدة. وحتى في لعبة من غير صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما بيغطيهاش أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر أفضلية الكازينو. وبيتقال لها كمان: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كله ←، كل رهان فيها عادل، حوالي 60% بس اللي هيخلصوا كسبانين. السهرة العادية مكسب صغير؛ والمتوسط بتدفع تمنه السهرات اللي بتخلص على الزيرو.
الدرس
الكازينوهات بتحط الحدود عشان تحط سقف لتباينهارياضياتالتباينمقياس بيقول النتايج متفرّقة قد إيه حوالين القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وواطي في رهانات الدفع المتساوي.اقرا الكلام كله ← هي، مش عشان تهزم الأنظمة. هزيمة مارتينغال أثر جانبي هي مبسوطة بيه، والحساب كان هيهزمه في كل الأحوال. اللاعب اللي فاكر إن الحد هو المشكلة حدد مكان الهاوية وافتكرها هي الانحدار.
الصيغة
أسئلة
هيخليك تصمد لحد أعلى، والكسر هناك أندر وأكبر. والخسارة المتوقعة لكل دولار هي هي.
مبالغ الرهان 10، 30، 70، 150، 310: حد الـ$500 بيتخبط بعد خمس خسارات، والكسر بيكلّف $570. ونفس الـ2.70%.
عشان لاعب واحد ما يقدرش يراهن بأكتر من اللي احتياطي الكازينو يقدر يدفعه وهو مرتاح. إدارة تباين.
متعة الرياضيات
جرّب تحلّها بنفسك الأول. كل حل متطبّق؛ افتحه لما تكون جاهز.
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج بيضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية عشان تعرف بيعمل إيه وما بيعملش إيه.اقرا الكلام كله ← بيبدأ بـ$100 على الأحمررهانالأحمررهان دفع متساوي على الـ18 رقم الأحمر. بالفرنساوي: rouge.اقرا الكلام كله ← وبيسمح لنفسه بـn رهان على الأكتر في كل حلقة: بعد n خسارة ورا بعض بيستسلم وبيبدأ من الأول. اكتب متوسط نتيجة الحلقة الواحدة كصيغة بدلالة n، واحسبه لـ5 و6 و7 رهانات على عجلة أوروبية.
وريني الحل
الإجابة المتوسط هو 100 × (1 − (38/37)ⁿ)، يعني −$14.26 لـ5 رهانات، −$17.35 لـ6، −$20.52 لـ7. إنك تسمح برهانات أكتر بيخلّي متوسط الحلقة أسوأ، مش أحسن.
الحلقة بتكسب $100 إلا لو الـn رهان كلهم خسروا، وده بيحصل باحتمال qⁿ، وq = 19/37. ولما كلهم يخسروا، مجموع مبالغ الرهان 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ بيبقى 100 × (2ⁿ − 1). يبقى المتوسط هو 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
هنا 2q = 38/37، يعني أكتر من 1 بشوية، فـ(2q)ⁿ بيكبر مع n والمتوسط بينزل: n = 5 بيدّي 1.1426 يعني −$14.26؛ وn = 6 بيدّي 1.1735 يعني −$17.35؛ وn = 7 بيدّي 1.2052 يعني −$20.52. السلّم الأطول بيخسر مرات أقل، في 3.6% و1.8% و0.9% من الحلقات، بس كل خسارة أكبر مرتين، وفلوس أكتر بتعدّي على الطاولة في كل حلقة، وعلى كل رهان 2.70%.
وعلى العجلة الأمريكاني 2q = 40/38 والأرقام −$29.24، −$36.04، −$43.20 (تايلور، 2021). وفي لعبة من غير صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما بيغطيهاش أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر أفضلية الكازينو. وبيتقال لها كمان: الصفر الواحد، 0.اقرا الكلام كله ← 2q = 1، ومتوسط كل حلقة صفر بالظبط مهما السلّم طوّل.
«مارتينغال الكبير» بيضاعف مبلغ الرهان بعد الخسارة وبيزوّد وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي النظام أو اللاعب شغال بيه. التدرّجات بتتوصف بالوحدات عشان تنفع على أي طاولة.اقرا الكلام كله ← واحدة، فمبالغ الرهان بتبقى 1، 3، 7، 15، 31 … بتبقى كسبان قد إيه لما أول مكسب ييجي في الرهان الأول أو التاني أو التالت أو في الرهان رقم k؟ وبوحدة $10 وحد أقصى $500، الحلقة بتنكسر كام مرة، والحلقة بتكلّف قد إيه في المتوسط؟
وريني الحل
الإجابة المكسب في الرهان رقم k بيسيبك كسبان k وحدات: +1، +2، +3 وهكذا. وبوحدة $10 وحد $500 الحلقة بتنكسر بعد خمس خساير، في 3.57% من الحلقات، بخسارة −$570. وفي المتوسط الحلقة بتخسر $2.32 من $85.73 متراهن بيهم: 2.70%.
مبلغ الرهان رقم k هو 2ᵏ − 1 وحدة: 1، 3، 7، 15، 31. ومجموع مبالغ أول k − 1 رهان هو 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. والمكسب في الرهان رقم k بيدفع 2ᵏ − 1، فالحلقة بتخلص كسبانة (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k وحدة: وحدة زيادة عن كل خسارة قبل المكسب.
بوحدة $10 مبالغ الرهان بتبقى $10 و$30 و$70 و$150 و$310؛ واللي بعده، $630، بيعدّي الحد الأقصى $500. وخمس خساير ورا بعض، (19/37)⁵ = 3.57%، بيكلّفوا 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
المتوسط: المكاسب بتجيب $10 × k باحتمال (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 لقيم k من 1 لـ5، والانكسار بياخد $570 باحتمال 3.57%؛ والمجموع −$2.32. ومتوسط المبلغ المتراهن بيه $85.73 في الحلقة، و2.32/85.73 = 2.70%. أما مارتينغال العادي على نفس الطاولة فبينكسر بعد ست خساير، في 1.83% من الحلقات، بخسارة −$630، وبيخسر $1.74 من $64.20 متراهن بيهم: 2.70% تاني.
لاعب ناوي يلعب نظام مارتينغال على الأحمر برهان أول $1 على طاولة حدّها $1,000، فيبقى فيه عشر رهانات ممكنة: $1 و$2 و$4 وهكذا لحد $512. الحلقة بتخسر العشر رهانات كلهم كام مرة، وده بياخد قد إيه في المتوسط، وكام مرة سهرة من 200 رهان بتخلص كده؟
وريني الحل
الإجابة الحلقة بتخسر العشر رهانات كلهم مرة من كل 784 تقريبًا، وده بيكلّف $1,023. يعني حوالي 1,600 رهان في المتوسط، وسهرة من 200 رهان بتخبط في الحيطة في حوالي 11% من الحالات. ومع ذلك الحلقة بتخسر في المتوسط $0.31 من $11.31 متراهن بيهم: 2.70%.
رهان الأحمر بيخسر باحتمال 19/37، والصفر محسوب. وعشر خساير ورا بعض: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، يعني حوالي 1 من 784. ومبالغ الرهان 1 + 2 + 4 + … + 512 مجموعها $1,023.
الحلقة بتاخد 2.05 رهان في المتوسط، فالـ784 حلقة بياخدوا حوالي 1,600 رهان. ولو عدّيت دورة دورة، سلسلة من عشر خساير بتطلع في أي حتة جوه 200 رهان في 11.3% من الحالات.
بين كارثة والتانية اللاعب بيكسب $1 في كل حلقة: حوالي $783 قبل الحلقة الوحشة، وبعدين −$1,023، يعني حوالي −$240 على الفترة كلها. وفي كل حلقة: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. والفلوس المتراهن بيها في كل حلقة: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. والقسمة: −0.31/11.31 = −2.70%.
قارن ده برهان أول $10 عند حد $500، يعني ست رهانات: الحيطة بتيجي مرة كل 55 حلقة، وسهرة من 200 رهان بتخبط فيها في 84% من الحالات. الحد الأعلى بيخلّي الانهيار أندر وأكبر، مش أرخص.
استراحة ضحك
أندر وأكبر، عند كل حد. وحاصل الضرب ثابت.
المصادر
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.